EXPOSITIO ET RATIO OMNIVM
FORMARVM.
  Notum est omnibus, Celse, penes te studiorum nos- 91.3
trorum manere summam, ideoque primum sedulitatis meae
inpendium iudiciis tuis offerre proposui. nam cum sibi 5
inter aequales quendam locum deposcat aemulatio, nemi-
nem magis conatibus nostris profuturum credidi quam
qui inter eos in hac parte plurimum possit. itaque quo
cultior in quorundam notitiam ueniat, omnia tibi nota
perlaturus ad te primum liber iste festinet, apud te tiro- 10
cinii rudimenta deponat, tecum conferat quidquid a me
inter ipsas armorum exercitationes accipere potuit. et si
meretur publica conuersatione sufferre uniuersorum ocu-
los, a te potissimum incipiat: quod si illi parum diligen-
tem adhibitam curam esse credideris et in aliqua cessasse 15
uidebimur parte, non exiguum laboris mei consequar fru-
ctum, quod te monente malignorum lucri fecerim existi-
mationem. quaeso itaque, si non est inprobum, habeat 92.1
apud te quandam excusationem, quod non potuerit eo
tempore consummari, quo genus hoc instrumenti feruen-
tibus studiis nostris disparatum est. omnium enim, ut
puto, liberalium studiorum ars ampla materia est; cui in 5
hac modica re nequid deesset, ingenti animo admoueram
uires. interuenit clara sacratissimi imperatoris nostri ex-
peditio, quae me ab ipsa scribendi festinatione seduceret.
nam dum armorum magis exerceor cura, totum hoc ne-
gotium uelut oblitus intermiseram, nec quicquam aliud 10
quam belli gloriam cogitabam. at postquam primum
hosticam terram intrauimus, statim, Celse, Caesaris nostri
opera mensurarum rationem exigere coeperunt. erant dandi
interueniente certo itineris spatio duo rigores ordinati,
quibus in tutelam commeandi ingens uallorum adsurgeret 15
molis: hos inuento tuo operis decisa ad aciem parte fer-
ramenti usus explicuit. nam quod ad synopsim pontium
pertinet, fluminum latitudines dicere, etiam si hostis in-
festare uoluisset, ex proxima ripa poteramus. expugnan- 93.1
dorum deinde montium altitudines ut sciremus, uenerabilis
diis ratio monstrabat. quam ego quasi in omnibus tem-
plis adoratam post magnarum rerum experimenta, quibus
interueni, religiosius colere coepi, et ad consummandum 5
hunc librum uelut ad uota reddenda properaui. postquam
ergo maximus imperator uictoria Daciam proxime resera-
uit, statim ut e septentrionali plaga annua uice transire
permisit, ego ad studium meum tamquam ad otium sum
reuersus, et multa uelut scripta foliis et sparsa artis 10
ordini inlaturus recollegi. foedum enim mihi uidebatur,
si genera angulorum quot sint interrogatus responderem
'multa': ideoque rerum ad professionem nostram pertinen-
tium, in quantum potui occupatus, species qualitates con-
diciones modos et numeros excussi. per que satis ampla 15
mediocritatis meae opinio seruabitur, si illa uir tantae 94.1
auctoritatis studentibus profutura iudicaueris.
  Ergo nequid nos praeterisse uideamur, omnium mensu-
rarum appellationes conferamus. [nam mensura non tantum
ista de qua loquimur appellatur, sed et quidquid pondere 5
aut capacitate aut animo finitur mensuram eque quam
longitudinem appellant.] quid ergo mensura sit de qua
quaeritur, tractemus.
  Mensura est conplurium et inter se aequalium in-
teruallorum longitudo finita, ut pes per unciam, per pe- 10
dem decempeda, per decempedam actus, per passum sta-
dium, per stadium miliarium, et his similia.
  Mensurarum appellationes quibus utimur sunt duo-
decim, digitus uncia palmus sextans pes cubitus gradus
passus decempeda actus stadium miliarium. minima pars 15
harum mensurarum est digitus: siquid enim infra digitum
metiamur, partibus respondemus, ut dimidiam aut tertiam.
uncia habet digitum unum et tertiam partem digiti. pal-
mus habet digitos iiii, uncias iii. sextans, que eadem
dodrans appellatur, habet palmos iii, uncias viiii, digitos 95.1
xii. pes habet palmos iiii, uncias xii, digitos xvi. in pede
porrecto semipedes duo. in pede constrato semipedes iiii.
in pede quadrato semipedes viii. cubitus habet sesqui-
pedem, sextantes duas, palmos vi, uncias xviii. gradus 5
habet pedes duo semis. passus habet pedes quinque. de-
cempeda, quae eadem pertica appellatur, habet pedes x.
actus habet longitudinis ped. cxx, latitudinis ped. cxx.
stadium habet pedes dcxxv, passus cxxv. miliarium habet
passus mille, milia pedum v, stadios viii. 10
  [Mensurae aguntur generibus duodecim. digitis. di-
gitus est in pede pars xvi. unciis. uncia est in pede pars
xii. palmis. palmus iiii. sextantibus. sextans, quae eadem 96.1
dodrans appellatur, habet uncias viiii, digitos xii. pedibus.
pes palmos iiii. cubitis. cubitus pedem semis. gradibus.
gradus habet pedes iis. passibus. passus habet pedes v.
decempedis. decempeda pedes x. actibus. actus habet pe- 5
des cxx. stadiis. stadium habet pedes dcxxv. miliariis. mi-
liarium habet p. v.
  Pes prostratus sic obseruabitur. ducis longitudinem
per latitudinem: facit embadon.
  Pes quadratus sic obseruabitur. longitudinem per la- 10
titudinem metiemur, deinde per crassitudinem: et sic effi-
cit pedes solidos.
  Pes quadratus concauus capit amforam trimodiam.
  In centuria agri iugera cc, modii dc. in circuitu ped.
viiiidc habet. in ea pedum iicccc per iicccc, passus cccclxxx 15
per cccclxxx, actus xx per xx, cubita ∞dc per ∞dc.
  Pedes ut in cubitos redigamus, semper duco octies,
et sumo partem xii: erunt cubita. cubita uero ut in pe-
des redigamus, semper duco duodecies, et sumo partem
octauam: erunt pedes.] 20
  Mensurae aguntur generibus tribus, per longitudinem
et latitudinem et altitudinem. hoc est rectum planum so- 97.1
lidum. rectum est cuius longitudinem sine lati-
tudine metimur, ut lineas, porticus, stadia, miliaria, flu-
minum longitudines, et his similia. planum est
quod Greci epipedon appellant, nos constratos pedes; in 5
quo longitudinem et latitudinem habemus; per quae me-
timur agros, aedificiorum sola, ex quibus altitudo aut cras-
situdo non proponitur, ut opera tectoria, inauraturas, ta-
bulas, et his similia. solidum est quod Graeci
stereon appellant, nos quadratos pedes appellamus; cuius 10
longitudinem et latitudinem et crassitudinem metimur, ut
parietum structuras, pilarum pyramidum aut lapidum ma-
terias, et his similia.
  Omnis autem mensurarum obseruatio et oritur et de-
sinit signo. signum est cuius pars nulla est. haec est om- 15
nium extremitatium finitima contemplatio. signum autem 98.1
sine parte est initium, a quo omnia incipiunt.
  Extremitas est quo usque uni cuique possidendi ius
concessum est, aut quo usque quisque suum seruat.
extremitatium genera sunt duo, unum quod per rigorem 5
obseruatur, alterum quod per flexus. rigor est
quidquid inter duo signa ueluti in modum lineae rectum
perspicitur; per flexus, quidquid secundum locorum natu-
ram curuatur, ut in agris archifiniis solet. decumanus est
longitudo rationalis, itemque cardo, constitutis in unum 10
binis rigoribus, singulis spatio itineris interueniente.
nam quidquid in agro mensorii operis causa ad finem
rectum fuerit, rigor appellatur: quidquid ad horum imi-
tationem in forma scribitur, linea appellatur.
  Linea est longitudo sine latitudine, lineae autem fines 15
signa. ordinatae rectae lineae sunt quae in eadem plani-
tia positae et eiectae in utramque partem in infinitum non 99.1
concurrunt.
  Linearum genera sunt trea, rectum, circum ferens,
flexuosum. recta linea est quae aequaliter suis
signis rectis posita est; circum ferens, cuius incessus a 5
conspectu signorum suorum distabit. flexuosa linea
est multiformis, uelut aruorum aut iugorum aut fluminum; in
quorum similitudinem et arcifiniorum agrorum extremitas
finitur, et multarum rerum similiter, quae natura inaequali
linea formata sunt. 10
  Summitas est secundum geometricam appellationem
quae longitudinem et latitudinem tantum modo habet,
summitatis fines lineae. plana summitas est quae
aequaliter rectis lineis est posita. omnium autem
summitatium metiundi obseruationes sunt duae, enormis 15
et liquis; enormis, quae in omnem actum rectis angulis 100.1
continetur; liquis, quae minuendi laboris causa
et salua rectorum angulorum ratione secundum ipsam ex-
tremitatem subtenditur.
  Genera angulorum rationalium sunt tria, rectum ebes 5
acutum. haec habent species viiii; rectarum linearum tres,
rectarum et circumferentium tres, circumferentium tres.
  Rectarum ergo linearum species angulorum generis
sui tres, recta ebes acuta. rectus angulus est
euthygrammos, id est ex rectis lineis conprehensus, qui La- 10
tine normalis appellatur. quotiens autem recta super
recta linea stans ex ordine angulos pares fecerit, et sin-
guli anguli recti sunt, et stans perpendicularis eius lineae
super quam insistit est. cuius sede si subtendens linea
perpendiculari fuerit iniuncta, efficit triangulum recto an- 101.1
gulo. ebes angulus est plus normalis, hoc est
excedens recti anguli positionem, et qui, si triangulus se-
cundum hanc positionem constitutus fuerit, perpendicula-
rem extra finitimas lineas habeat. acutus angulus 5
est conpressior recto; qui si a recta linea, quae sedis
loco fuerit, rectam lineam secundum suam inclinationem
emiserit, similique cohibitione rectam lineam in occursum
exceperit, efficiet triangulum qui perpendicularem intra
tres lineas habebit. rectus ergo angulus est 10
normalis, ebes plus normalis, acutus minus normalis.
  Rectarum linearum et circumferentium species angu-
lorum generis sui tres, recta ebes acuta. quae-
cumque autem linea in dimensione medium secans circu-
lum per punctum transiens ad circumferentem lineam pa- 15
res alternos secundum suam speciem rectos angulos faciet.
ebetes angulos faciet generis sui quaecumque or-
dinata dimensioni linea intra semicirculum, in eo tamen
spatio quod inter se et lineam quae per punctum semi- 102.1
circuli transiet interiacebit. quotiens intra semi-
circulum linea fuerit ordinata dimensionis lineae, acutos
angulos faciet generis sui, quos in circumferentia cludet.
rectarum ergo et circumferentium linearum an- 5
guli rectus ebes acutus; rectus, quoniam recta linea quae
per punctum ad circumferentiam peruenit, medium secat
circulum et utraque parte pares angulos diuidit; ebes et
acutus ideo quod ordinata dimensioni linea intra semi-
circulum inferiores facit angulos maiores: nam quos intra 10
circumferentiam cludet, minores.
  Circumferentium linearum species angulorum generis
sui tres, recta ebes acuta. quotiens ex uno duo-
rum punctorum diastemate duo circuli pares exeunt, ad
conexionem circumferentiarum interiores rectos angulos 15
facient; ebetes exteriores, qui sunt sescontrarii
rectis: acuti anguli sunt lunati, qui inter rectos et ebe-
tes includuntur. circumferentium linearum rec-
tos angulos ideo quod si tres circuli pares inter se fue-
rint aequali diastemate conexi, intra scriptos angulos pares 20
alternos habebunt, per quorum signa si rectae lineae in- 103.1
tra scribantur, in partes quas circulorum conexio consu-
met medias diuident. ebetes angulos exteriores, quod sunt
omnibus intra scriptis maiores. lunati autem acuti, quod
exilissima tenuitate finiuntur. 5
  Rationalium linearum genera angulorum haec sunt.
quibus si flexuosa linea iniungatur, faciet species angulo-
rum secundum suam inaequalitatem complures:
omnes tamen illae inaequalitates rationalibus lineis conpre-
hendi et diuidi possunt. [flexuosa autem linea sicut eli- 10
cis aut cornualis.] nam flexuosa linea ad mensu-
ram redigitur, quem admodum ipsius loci natura permit-
tit, qua proxima est rectae lineae adque circumferenti cir-
culari, si terminibus arboribus notatis aut fossis aut uiis
aut iugis montium et diuergiis aquarum fines obseruabun- 15
tur.
  Angulus autem omnis species capit duas, planam et
solidam. planus angulus est in planitia duarum
linearum adtingentium, sed et non in rectum positarum,
alterius ad alteram inclinatio. solidus angulus est 20
cuius planitiae altitudo adiungitur aut aequatur.
  Forma est quae sub aliquo aut aliquibus finibus con- 104.1
tinetur.
  Formarum genera sunt quinque. unum quod ex fle-
xuosa linea continetur. alterum quod ex flexuosa et ra-
tionalibus. tertium quod ex circumferentibus. quartum quod 5
ex circumferentibus et rectis. quintum quod ex rectis. ho-
rum generum sunt species multitudinis infinitae.
  Flexuosarum linearum formae species habent multas
in infinitum.
  Aeque multas ac uarias figuras habent formae, quo- 10
tiens flexuosae lineae rationalis siue recta siue circularis
linea interuenit.
  Circumferentium linearum formae aliquae sunt sine
angulo, aliquae uno, aliquae duorum, aliquae trium, ali-
quae quattuor, et aliquae super hunc numerum singulis 15
angulis accedentibus ut plurimum in infinitum. forma est
sine angulo circuli unius pluriumue. circulus autem est plana
forma ab una linea conprehensa, ad quam ab uno signo
intra formam posito omnes accedentes rectae lineae sunt
inter se pares. ex pluribus circulis forma sine 105.1
angulo, ut harenae ex quattuor circulis; ex
pluribus quam quinque, ut in opere picturarum aut ar-
chitectura. forma anguli unius ex tribus circinis,
ut in opere marmoreo. duorum angulorum forma e duo- 5
bus circinis, trium angulorum ex tribus circinis,
quattuor angulorum ex quattuor circinis,
reliquae accedentibus singulis plurilaterae in infinitum.
  Rectarum linearum et circumferentium [forma sine 10
angulo] duorum laterum totidemque angulorum forma est
ex recta linea et circumferenti semicirculo. [rec-
tarum linearum et circumferentium formae sine angulo
lateris unius, duorum angulorum ex duobus lateribus,
trium angulorum ex tribus lateribus, quattuor ex quattuor, 15
reliquae singulis accedentibus plurilaterae.] tri-
latera forma est trium laterum totidemque angulorum ex
duabus rectis lineis et una circumferenti, uel ex
duabus circumferentibus et una recta. ex duabus ergo 106.1
rectis et una circumferenti. ex duabus circumferentibus
et recta. quadrilatera forma est quattuor laterum
totidemque angulorum ex quattuor lineis comprehensa, ut
duabus rectis et duabus circumferentibus. plu- 5
rilatera forma est quae plus quam quattuor lineis com-
prehensa est, ut quinque laterum totidemque angulorum
ex duabus rectis et tribus circumferentibus,
ex tribus rectis et duabus circumferentibus. et quaecum-
que huic formae accedentibus singulis angulis et late- 10
ribus similis fuerit, plurilatera appellatur.
  Planarum autem et rectis lineis comprehensarum aliae
sunt trilaterae, aliae quadrilaterae, aliae singulis adiectis
super hunc numerum plurilaterae in infinitum. trilatera
forma est quae tribus rectis lineis continetur. trilatera- 15
rum formarum et ex rectis lineis comprehensarum species
sunt quattuor. una qua rectus angulus continetur, et ef-
ficit triangulum recto angulo, quod Graeci orthogonion
appellant.
. . . 20
plurilatera forma est quae plus quam quattuor rectis li-
neis sub qualicumque specie continetur . . .
. . .
quinque, quam formam Graeci pentagonon appellant.
amplioribus quoque formis apud Graecos nomina 25
ab angulis dantur, ut hexagono heptagono et super hunc 107.1
numerum compluribus. has nos plurilateras appellamus
adiecto angulorum numero, ut sex angulorum et septem.
et quantumcumque super hunc numerum auxeris, eandem
appellationem utamur. 5
  Alia species est formae per quam frequenter archi-
finiorum agrorum quadratura concluditur ex rectis angulis
[ex] pluribus quam quinque, accedentibus super hunc
numerum in quantacumque multitudine cogitaueris.
  [Qualemcumque rectorum angulorum formam rectis 10
lineis comprehendere.
  Ex data recta linea ducere posito signo . . .
. . . relato in utramque partem circino, aequali
punctorum diastemate circulos scribere opor-
tet, per quorum conexionem recta linea transeat factura 15
normales in data linea angulos. sed quo in rec-
tarum linearum forma circularis linea non interueniat rec-
tis, a circumferentiarum parte chiasmi cuiusdam ratione
utamur.
  Quod si ab eadem recta linea ducenda fuerit quae 20
rectum angulum faciat, ex quolibet puncto qui per caput
recta linea transeat rectam lineam eicere, per cuius signum
quod est in circumferentem lineam a capite rectae lineae
recta linea transeat factura in data linea rectum angulum.
in hanc autem rationem sublata circumferentia 108.1
chiasmis utendum est. nam quod ad extremam lineae
normationem pertinet, uulgaris consuetudinis est sex octo
et decem: haec de qua supra disputauimus cir-
culi ratio magis artificialis est, quae numeros non prae- 5
finit: habemus enim apud Eucliden, quocumque loco ad
circumferentem lineam ex signis dimensionis duae lineae
concurrerint, normam facturas.]